Bilangan

 Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasilkan bilangan lainnya sebagai keseluruhan, disebut sebagai operasi bilangan. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan,  pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

a.    Sejarah

1)    Mesopotamia
- Menentukan system bilangan pertama kali.
- Menemukan system berat dan ukur.
- Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentuk baji.

2)     Babilonia
- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125.
- Penemu kalkulator pertama kali.
- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi.
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat.
- Geometrinya bersifat aljabaris.
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang.
- Sudah mengenal teorema Pythagoras.

3)     Mesir Kuno.
- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi.
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM.
-Mengenal tripel Pythagoras.
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika.
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10.

4)    Yunani Kuno
- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik).
- Pencetus awal konsep nol adalah Al Khwarizmi.
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut.
- Hipassus penemu bilangan irrasional.
- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan).
- Archimedes membuat geometri bidang datar.
- Mengenal bilangan prima.

5)    India
- Aryabatha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran.
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal.
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif.
- Rumus   telah ada pada “Sulbasutra”.
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasi dan segitiga pascal.

6)     China
- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu persamaan kuadrat, kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 

b.    Angka, bilangan, dan nomor
Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan dan nomor seringkali disamakan. Secara definisi, angka, bilangan, dan nomor merupakan tiga entitas yang berbeda.
Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan menggunakan angka Hindu-Arab "5" (sistem angka berbasis 10), "101" (sistem angka biner), maupun menggunakan angka Romawi 'V'. Lambang "5", "1", "0", dan "V" yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka.
Nomor biasanya menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan. Misalnya kata 'nomor 3' menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, ..., dst. Kata "nomor" sangat erat terkait dengan pengertian urutan.

c.    Klasifikasi bilangan
Berbagai jenis bilangan yang digunakan dalam kasus yang berbeda. Bilangan dapat diklasifikasikan ke dalam kelompok, yang disebut sistem system bilangan (number systems). Untuk metode yang berbeda untuk mengungkapkan angka dengan simbol, seperti angka Romawi, mari kita lihat tabel sistem bilangan (number systems) berikut:

d.    Angka nol
Penggunaan nol sebagai angka harus dibedakan dari penggunaan sebagai pengganti angka dalam sistem tempat-nilai. Banyak teks-teks kuno menggunakan nol. Babilonia dan Mesir teks menggunakannya. Mesir menggunakan kata nfr untuk menunjukkan nol. Teks India menggunakan kata Shunya dari bahasa Sansekerta untuk merujuk pada konsep kekosongan. Dalam teks matematika kata ini sering merujuk pada angka nol.
Pada tahun 130 Masehi, Ptolemeus dipengaruhi oleh Hipparchus dan orang-orang Babilonia, menggunakan simbol untuk nol (lingkaran kecil dengan overbar panjang) dalam sistem angka sexagesimal dinyatakan menggunakan angka abjad Yunani. Karena itu digunakan sendiri, bukan hanya sebagai pengganti, ini nol Helenistik adalah penggunaan didokumentasikan pertama dari nol sejati di Dunia Lama. Di kemudian manuskrip Byzantium nya sintaks Mathematica (Almagest), yang Helenistik nol telah bermetamorfosis ke huruf Yunani Omicron (dinyatakan berarti 70).

e.    Pi
Pi atau π adalah rasio dari jarak sekitar lingkaran dengan diameter lingkaran. Ini menghasilkan angka, dan nomor yang selalu sama. Namun, jumlah ini agak aneh. Jumlah dimulai 3.14159265 ... dan berlanjut tanpa akhir. nomor seperti ini disebut irasional.
Matematikawan telah mengetahui tentang pi selama ribuan tahun karena mereka telah bekerja dengan lingkaran untuk jumlah waktu yang sama. Peradaban setua Mesir Kuno dan Babilonia telah mampu mendekati pi ke digit banyak, misalnya pecahan 25 / 8 dan 256/81. Referensi tertulis pertama untuk itu tanggal ke 1900 SM. Sekitar 1650 SM Ahmes Mesir memberikan nilai dalam Papyrus Rhind. Babel mampu menemukan bahwa nilai pi adalah sedikit lebih besar dari 3 dengan hanya membuat lingkaran besar dan kemudian menempel sepotong tali ke lingkar dan diameter, mengambil catatan dari jarak mereka, dan kemudian membagi lingkar dengan diameter. Pengetahuan tentang nomor pi berlalu kembali ke Eropa dan ke tangan orang Ibrani yang membuat nomor penting dalam bagian dari Alkitab disebut Perjanjian Lama dimana Gereja Katolik kemudian akan menekankan. Setelah ini, cara yang paling umum berusaha mencari pi adalah untuk menggambar bentuk banyak pihak di dalam lingkaran dan penggunaan setiap daerah bentuk untuk menemukan pi mengukur. The Archimedes filsuf Yunani, misalnya, menggunakan bentuk yang dengan 96 sisi untuk menemukan nilai pi, tetapi orang Tionghoa di 500 AD mampu menggunakan bentuk dengan 16.384 sisi untuk mencari nilai pi. Orang-orang Yunani, seperti Anaxagoras dari Clazomenae, juga sibuk dengan mengetahui sifat-sifat lainnya lingkaran, seperti bagaimana membuat kotak lingkaran dan mengkuadratkan bilangan pi. Sejak itu, banyak orang telah mencoba untuk mengetahui nilai-nilai lebih pi dengan lebih tepat.

f.    Tokoh – tokoh Bilangan

1)    Thales
Yunani, 624-546 SM

Thales adalah seorang ahli filsafat. Pada zamannya seorang ahli filsafat mempelajari matematika, astronomi, fisika dan ilmu pengetahuan alam. Thales lahir di Yunani kemudian pergi ke Mesir untuk belajar. Ia mengukur tinggi piramida dengan menggunakan pengertian kesebangunan dan meramalkan waktu peredaran matahari. Tak heran jika ia disebut sebagai Bapak Awal Ilmu Matematika dan Astronomi.

Dalam sebuah cerita, di suatu malam ia berjalan sambil menatap bintang di langit. Tiba-tiba ia terperosok masuk selokan. Seorang wanita budak yang sudah tua melihat kejadian itu berkata kepadanya, "Tuanku, bila anda tidak dapat melihat jalan bagaimana anda dapat menceritakan sesuatu tentang bintang-bintang?"

2)    Phytagoras
Yunani, 582-493 SM

Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

3)    Ali bin Abi Thalib
Arab Saudi, 658-695 Masehi

Sejak kecil Ali bin Abi Thalib menyukai berbagai ilmu dan ikut dengan Nabi Muhammad SAW. Kelak Ali dinikahkan dengan putri Rasul, Fatimah R.A. dan hidup dalam kesederhanaan yang teramat sangat. Meskipun hidup dalam kesederhanaan Ali tidak surut dalam mencari ilmu pengetahuan, tak heran bila Rasul pernah bersabda, "Apabila aku kota ilmu maka Ali adalah gerbangnya".

Ketika awal lambang bilangan dalam matematika menggunakan huruf-huruf seperti yang pernah diajarkan oleh bangsa Romawi tergolong rumit, Ali mempopulerkan lambang bilangan dalam huruf Arab dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 0. Ali juga yang menyederhanakan penulisan lambang bilangan Romawi di mana sepuluh dengan "X", seratus dengan "C", seribu dengan "M" dan seterusnya dipermudah dengan menambahkan angka nol di belakang angka puluhan, ribuan dan satuan dengan bilangan 10, 100, 1000 dan seterusnya, di mana angka "0" dalam bilangan Arab diwakili dengan titik.

4)    Rene Descartes
Perancis, 1596-1650

Descartes mempelajari Matematika, Fisika, Politik dan Filsafat. Ia adalah orang yang pertama kali menggunakan sistem dua atau tiga bilangan seperti (A, B) atau (A, B, C) sebagai koordinat untuk menggambarkan titik-titik pada suatu bidang atau dalam ruang. Dengan cara ini pernyataan-pernyataan mengenai gambar-gambar dalam geometri tentang titik yang dijabarkan oleh Euclides dapat diterjemahkan menjadi pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan.

Menurut hikayat, Descartes mendapat ide itu ketika sedang terbaring sakit di tempat tidur. Ia mengamati laba-laba yang berjalan di langit-langit dan kemudian turun dengan benangnya. Hal ini memberikan ide kepadanya untuk menyatakan titik-titik dalam ruangan dengan (A, B, C).

Ia juga orang pertama kali yang menggunakan huruf-huruf abjad seperti a, b, c, ... , x, y, z untuk mewakili bilangan-bilangan. Ia pula orang pertama kali yang mengemukakan ide tentang bilangan negatif.

5)    Seki Takakazu
Jepang, 1642-1708

Pada zaman hidupnya, Jepang menggunakan sistem lambang bilangan Cina yang berbelit-belit daripada sistem angka Arab untuk melambangkan bilangan. Mereka juga menggunakan alat-alat yang terbuat dari kayu (yang disebut Sangi) yang mula-mula dikembangkan di Tiongkok kuno untuk metode pengukuran luas bangunan. Di masa itu Seki menemukan metode mengukur luas suatu bangunan yang dibatasi oleh kurva-kurva atau volume benda-benda ruang yang tak teratur dengan metode yang sekarang dikenal dengan nama "integral".

Matematika bangsa Jepang ini sebut Wasan. Sampai saat matematika Barat diperkenalkan di Jepang menjelang akhir abad ke-19, Wasan-lah yang lebih dahulu populer di Jepang. Seki Takakazu adalah salah seorang dari pengajar Wasan yang terkenal.

6)    Johan Gauss
Jerman, 1777-1885

Menurut hikayat, Johann Gauss adalah seorang jenius dalam aritmetika. Ketika ia berusia 9 tahun seorang guru menyuruh murid-murid di kelasnya untuk menjumlahkan deretan bilangan 1 + 2 + 3 + ... + 40. Gauss hanya memerlukan waktu beberapa saat saja tanpa menuliskan sesuatu apapun untuk memperoleh jawabannya yaitu 820. Ia mendapat jawaban dalam otaknya dengan menyadari bahwa jumlah itu dapat dipikirkan penyelesaiannya sebagai berikut: (1 = 40) + (2 + 39) + ... + (20 + 21) = 41 + 41 + ... + 41 = 41 X 20 = 820.

Ayah Gaus hanyalah seorang tukan batu dan tak sanggup memberikan pendidikan universitas kepadanya. Tetapi raja tertegun akan kemampuan Gauss muda dan raja bersedia membiayai pendidikannya. Kelak Gauss menjadi salah satu ahli matematika terkemuka di dunia. Ia juga banyak meninggalkan hasil karyanya dalam bidang astronomi, pengukuran tanah dan elektromagnetisme.